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初中数学那些事(列方程的故事)
发布: admin   时间:2018/5/8   

初中数学那些事

列方程的故事

不少初中生认为解方程容易,列方程难。听完这个故事,也许就不那么难了。

有一种数量关系s=vt常常出现在方程中,其中的s是路程,v是速度(单位是每小时多少公里等),t是时间。

还有一些与时间有关的题,如:

1. 小李要打一份m个字的文件,打字速度是每分钟打n个字,打了t分钟,公式是m=nt。

2. 机器人搬运m公斤化工原料,每小时搬运n公斤,用了t小时,公式是m=nt。

3. 某人计划生产m个零件,每天生产n个,用了t天,公式是m=nt。

以上题目不光与时间有关,还有个共同特点:都有一个“每”字。即使是与时间无关的题,只要出现了这个“每”字,都会用相同的公式,如:

1. 每亩地生产粮食n公斤,a亩地生产粮食m公斤,公式是m=na。

2. 某一年某图书馆借阅总量是m本,有a人借阅,平均每人借阅n本,公式是m=na。

3. 工作效率问题也是每天完成多少工作量的问题,如果是150天完成一项工程,效率就是1/150,相当于s=vt中的速度v。

    解这类应用题,要先抓住两件事或者两个人(或两个物体)之间的等量关系,将题目条件对号入座,代入上述公式就可列出方程了。现通过以下题目的分析掌握做题方法。

1.一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h,它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间,与以最大航速逆流航行90km所用时间相等.设江水的流速为vkm/h,请列方程。
   
分析:两件事是顺流航行与逆流航行,代入题目所给条件;

顺流s1=120   v1=35+v   t1=

逆流s2=90    v2=35-v   t2=

等量关系在缺乏表达式的时间t上找,可见是航行时间相等:t1=t2,所以方程为
    120/(35+v)=90/(35-v)。

 

2.一艘船从甲码头顺流航行到乙码头,再返回甲码头共用5 h。已知该艘船在静水中的速度为20km/h,水流速度为4km/h,若设甲、乙两码头间的距离为x km,请列方程求x。

分析:两件事是顺流航行与逆流航行,代入题目所给条件;

顺流s1=x   v1=20+4   t1=

逆流s2=x   v2=20-4   t2=

等量关系在缺乏表达式的时间t上找,可见是航行往返时间为5小时;即t1+t2=5,所以有x/24+x/16=5,解得x=48km。

 

3.A、B两站相距300千米,一列快车从A站开出,行驶速度是60千米/时,一列慢车从B站开出,行驶速度是40千米/时,快车先开15分钟,两车相向而行,快车开出几小时后两车相遇?

分析:两个物体是快车与慢车,设快车开出x小时后两车相遇,代入题目所给条件;

快车:s1=    v1=60   t1=x

慢车:s2=    v2=40   t2=x-15/60

等量关系在缺乏表达式的距离s上找,可见是相遇时两车驶过的路程之和为300千米;即s1+s2=300,所以有v1t1+v2t2=300,60x+40(x-1/4)=300,解得x=3.1 h。

 

4.一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地,如果每小时骑15千米,则早到24分钟,如果每小时骑12千米,就要迟到15分钟。问:原定时间是多少?他去某地的路程是多远?

分析:两件事是速度快和速度慢,设原定时间为x小时,代入题目所给条件(注意统一时间单位为h);

快骑:s1=    v1=15   t1=x-24/60

慢骑:s2=    v2=12   t2=x+15/60

等量关系在缺乏表达式的路程s上找,可见是路程不变;即s1=s2 ,所以有v1t1=v2t215(x-24/60)=12(x+15/60),解得x=3 h,路程为s1=v1t1=15(3-24/60)=39km。

 

5.小李骑自行车从A地到B地,小明骑自行车从B地到A地,两人都匀速前进。已知两人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12时,两人又相距36千米,求A、B两地间的距离。

分析:两个人是小李和小明,A、B两地间的距离为x千米,代入题目所给条件;

上午10时:

小李:s1=    v1=   t1=2

小明:s2=    v2=   t2=2

等量关系在缺乏表达式的路程s上找,可见有s1+s2+36=x,即v12+v22=x-36,

上午12时:

小李:s1=    v1=   t1=4

小明:s2=    v2=   t2=4

等量关系还是在缺乏表达式的路程s上找,可见有s1+s2-36=x,即v14+v24=x+36,解得x=108千米。

 

6.家住山脚下的王伟同学某周日早上想从家出发登山游玩,根据以往的经验,有如下信息:1.他下山时的速度比上山时的速度快1千米/时;2.他上山2小时后到达的位置,距山顶还有1千米;3.抄近路下山,下山路程比上山路程少2千米;4.抄近路下山需1小时。

根据上面信息,请你求出王伟同学上山的速度。

分析:两件事是上山和下山,设王伟同学上山的速度为x千米/时,山高为h千米,代入题目所给条件;

上山:s1=h-1    v1=x     t1=2

下山:s2=h-2    v2=x+1   t2=1

等量关系是:山高h不变,所以s1+1=s2+2 ,即v1t1+1=v2t2+2,x2+1=(x+1)1+2,解得x=2 km/h,

 

7.小李要打一份12000字的文件,第一天她打字2 h,打字速度为m字/min,第二天她打字速度比第一天快了10字/min,两天打完全部文件,第二天她打字用了多长时间?

分析:两件事是用了两天打字,设小李第二天打字用了x min,代入题目所给条件(注意统一时间单位为min);

第一天s1=    v1=m      t1=2×60

第二天s2=    v2=m+10   t2=x

等量关系在缺乏表达式的字数s上找可见有s1+s2=12000 ,所以有m120+(m+10)x=12000,解得x=(12000-120m)/(m+10) min

 

8.某人原计划用26天生产一批零件,工作2天后因改变了操作方法,每天比原来多生产5个零件,结果提前4天完成任务,问:原来每天生产多少个零件?这批零件共多少个?

分析:两件事是两种操作方法,设原来每天生产x个零件,则这批零件共有26x个。代入题目所给条件(注意统一时间单位为min);

原来:s1=    v1=x      t1=2

后来:s2=    v2=x+5    t2=26-2-4=20

等量关系在缺乏表达式的零件数量s上找可见有s1+s2=26x ,所以有2x+20(x+5)=26x,解得x=25,可见这批零件共有650个。

 

9.某项工作甲单独做4天完成,乙单独做6天完成,若甲先做1天,然后甲、乙合作完成此项工作,若甲一共做了x天,则所列方程为       

分析:两个人是甲和乙,设总工作量为m(比设工作量为1容易理解),代入题目所给条件;

s1=    v1=m/4      t1=x

s2=    v2=m/6      t2=x-1

等量关系在缺乏表达式的工作量s上找可见有s1+s2=m ,所以有mx/4+(x-1)m/6=m,解得x=2.8天。

 

10.有两支同样长的蜡烛,一支能燃烧4小时,另一支能燃烧3小时,一次遇到停电,同时点燃这两支蜡烛,来电后同时吹灭,发现其中的一支是另一支的一半,停电时间为      

分析:两个物体是燃烧慢的蜡烛和燃烧快的蜡烛,设停电时间为x小时,蜡烛长为a,代入题目所给条件;

燃烧慢的蜡烛:s1=    v1=a/4      t1=x

燃烧快的蜡烛:s2=    v2=a/3      t2=x

等量关系在缺乏表达式的燃烧长度s上找,可见有a-s1=2(a-s2),所以有a-xa/4=2(a-xa/3),解得x=2.4小时。

 

11.在某工程建设中,甲队单独完成这项工程需要150天,甲队单独施工30天后增加乙队,两队又共同工作了15天,共完成总工程的                                             

1)求乙队单独完成这项工程需要多少天?                                      
2)为了加快工程进度,甲、乙两队各自提高工作效率,提高后乙队的工作效率是,甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2),若两队合作40天完成剩余的工程,请写出a关于m的函数关系式,并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍?

分析:(1)两个队是甲队和乙队,乙队单独完成这项工程需要x,代入题目所给条件;

s1=    v1=1/150      t1=30+15=45

s2=    v2=1/x        t2=15

等量关系在缺乏表达式的工作量s上找可见有s1+s2=1/3,即45/150+15/x=1/3,解得x=450天。

2)提高效率后(工作效率中的分母a就是完成总工程的天数)

s1=    v1=m/a      t1=40

s2=    v2=1/a      t2=40

等量关系还是在缺乏表达式的工作量s上找可见有s1+s2=2/3,即40m/a+40/a=2/3,a=60(m+1)

1≤m≤2,所以120a180,取a=120时,乙队最大工作效率1/120,是原来的(1/120)/(1/450)=450/120=3.75倍

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