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勾股数的故事
录入:admin  来源:Internet  时间:2018/2/8 

初中数学那些事          

勾股数的故事

    初中数学八年级下册要学习“勾股定理”,“勾3股4弦5”是学生们背得最熟的口诀。像3,4,5这样能够成为直角三角形三条边长的正整数,称为勾股数。当然它们的整数倍,例如6,8,10也是一组勾股数,它们有公约数2。我下面要讲的是没有公约数的勾股数。

除了记得3,4,5是一组勾股数,还记得几组呢?5,12,13也有印象吧。还记得7,24,25吗?

理论上勾股数有无穷组,什么整数可以成为一组勾股数呢?

先看一下刚才说过的三组勾股数吧。{3,4,5},{5,12,13},{7,24,25},它们有什么共性?1.都是两个奇数,一个偶数!2.最大的那个数是奇数!

这不是偶然的,下面我们用排除法来得出结论

一、三个整数的奇偶性有多少种组合呢?4种:①全是偶数;②全是奇数;③两个偶数一个奇数;④两个奇数一个偶数。

先看①全是偶数。此种情况必有公约数2,不属于我们讨论范围。如果一直去公约数,当然最后就不会有全是偶数的组合了。第①种被排除。

再看②全是奇数。根据勾股定理,两个数的平方和等于第三个数的平方。如果3个数都是奇数,就成了:奇数的平方+奇数的平方=奇数的平方。我们知道奇数的平方也是奇数,上式就成了:奇数+奇数=奇数。这显然是错的,众所周知:奇数+奇数=偶数。所以第②种可能又被排除。

再看③两个偶数一个奇数。把这三个数代入勾股定理有两种可能:1.偶数平方+偶数平方=奇数平方;2.偶数平方+奇数平方=偶数平方。

先分析1.偶数平方+偶数平方=奇数平方。大家知道:偶数平方是偶数,奇数平方是奇数,那上式就成了:偶数+偶数=奇数,显然错了,排除!

再分析2.偶数平方+奇数平方=偶数平方。同理,此式相当于:偶数+奇数=偶数。再错,排除!

至此可见,第③种可能再被排除。剩下的就是我们熟知的:④勾股数由两个奇数一个偶数组成。

二、新问题出现了:偶数会不会是最大的那个数呢?放到直角三角形里就是问:斜边会不会是偶数呢?

设两个奇数分别是a、b,偶数是c,会不会有a2+b2=c2呢?再用归谬法排除。

a>b,等式两边减“2b2”,得a2-b2=c2-2b2,即(a+b)(a-b)=c2-2b2

因为a、b都是奇数,所以(a+b)和(a-b)都是偶数;设(a+b)=2m,(a-b)=2n,则(a+b)(a-b)=2m·2n。

因为c是偶数,可设c=2k,则有2m·2n=4k2-2b2,等式两边除以2,得

2mn=2k2-b2,显然2mn是偶数,2k2也是偶数,b2是奇数,出现了:

偶数=偶数-奇数,显然这又错了。之所以错是因为一开始的假设错了,结论:三个数中最大的是奇数

三、如何找出一组勾股数

就是如何找出三个整数a、b、c使得a2+b2=c2成立?或者说使得a2=c2-b2=(c-b)(c+b)成立。

1.先设a为奇数,例如a=11,则有121=(c-b)(c+b),把121分解成两数相乘,有如下可能:①121=1×121,②121=11×11。

对于①121=1×121,令(c-b)=1,(c+b)=121,解得c=61,b=60,此时得到一组勾股数{11,60,61}。

对于②121=11×11,令(c-b)=11,(c+b)=11,解得c=11,b=0,不合题意,舍去。

2.再设a为偶数,例如a=8,则有64=(c-b)(c+b),把64分解成两数相乘,有如下可能:①64=1×64,②64=2×32,③64=4×16,④64=8×8。

由于勾股数中只能有一个偶数,当a为偶数时,b、c只能为奇数,所以(c-b)和(c+b)都是偶数。

对于①64=1×64,因为有奇数1,不合题意,舍去。

对于②64=2×32,令(c-b)=2,(c+b)=32,解得c=17,b=15,此时得到一组勾股数{8,15,17}。

对于③64=4×16,令(c-b)=4,(c+b)=16,解得c=10,b=6,此时得到一组勾股数{8,6,10},这是有公约数2的勾股数。

对于④64=8×8,令(c-b)=8,(c+b)=8,解得c=8,b=0,不合题意,舍去。
   
如果您也有勾股数的故事,请加微信wqwy4432,说来听听。 

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